图2. 调制信号p(t)的时域波形
满足Dirichlet 条件时，任何周期函数均可以进行傅里叶级数展开，p(t) 可以写为：
式中，Ω为方波信号的基波频率，Ω=2π/T。
经过计算，可以得到an 和bn 如下：
这意味着p(t) 只包含DC、基波及其奇次谐波，但阶数越高，谐波强度越弱。
可以将p(t) 重新写为：
为简便起见，首先考虑调制信号只包含DC和基波的情况，这又回到经典的相位调制。
将其代入已调信号up (t) 后可得
上式可以写为复指数形式
为了进一步分析，可将进行傅里叶级数展开，其展开式为宗数为b1φm的第一类贝塞尔函数：
将其代入复指数表达式
则up (t) 可重新表示为
可以看出，当只考虑调制信号的DC和基波时，已调信号up (t)将包括ωc及ωc+nΩ(n为整数) 等众多频率分量。
实际中调制信号还包含丰富的谐波分量，因此对载波进行相位调制后的频谱更加丰富。面对的困难是，考虑的谐波越多，公式推导越复杂。为了简化，下面只考虑到3次谐波。
对应的已调信号为
类似地，可以写为如下复指数形式
将、分别进行傅里叶级数展开为
经过一番推导可得
由此可见，当考虑到调制信号的三次谐波时，已调信号up (t) 的频谱更加丰富，包括ωc、ωc+nΩ 、ωc+3kΩ及ωc+nΩ+3kΩ(n,k为整数) 等众多频率分量。
以此类推，当考虑p(t) 更高阶的谐波时，将会有更多的频率项，但是从频率上看，各个频率分量都是均匀分布的，而且相邻谱线之间的间距始终为基波Ω。
2. 下面讨论一下up (t) 主要频率分量的幅度。
(1) 首先考虑载波ωc的幅度，以上面考虑到三次谐波的情况为例。当nΩt+3kΩt=0 时，对应的就是载波分量。这要求n=-3k (k 为整数)，此时可以得到：
对于第一类贝塞尔函数Jn (x)，其奇偶特性如下：
当n 为奇数时，Jn (x) 为奇函数；当n 为偶数时，Jn (x) 为偶函数。
进一步化简可得
因以上考虑的都是相位偏移 φm=π的情况，故b1φm=2，b3φm=2/3，代入上式得
对于第一类贝塞尔函数，Jn (2)=Jn (2/3)=0 (n≥5)，则
根据第一类贝塞尔函数，上式计算得到的载波信号幅度非常微弱。
(2) 频率分量ωc+Ω的幅度分析。当n=-3k+1 时，对应的就是ωc+Ω频率分量。
由于，且Jn (2)=Jn (2/3)=0 (n≥5)，上式进一步化简得
该频率分量的幅度要远远大于载波的幅度！
(3) 频率分量ωc-Ω的幅度分析。当n=-3k-1 时，对应的就是ωc-Ω频率分量。
由于，且Jn (2)=Jn (2/3)=0 (n≥5)，上式进一步化简得
该频率分量的幅度也远远大于载波的幅度！
而且对比 ωc+Ω 和 ωc-Ω 两个频率分量，它们的幅度相同！也就是说，从频谱上看，它们是关于载波对称的！
(4) 频率分量ωc+2Ω 的幅度分析。当n=-3k+2 时，对应的就是ωc+2Ω 频率分量。
虽然(n,k) 的组合很多，但是当阶数较大时，Jn (2)= Jn (2/3)=0 (n≥5)，因此可得
经过计算，该频率分量的幅度非常微弱。
(5) 频率分量ωc-2Ω 的幅度分析。当n=-3k-2 时，对应的就是ωc-2Ω 频率分量。
虽然(n,k) 的组合很多，但是当阶数较大时，Jn (2)= Jn (2/3)=0 (n≥5)，因此可得
该频率分量与ωc+2Ω 的幅度相同，依然非常微弱。
上面从理论上解释了频谱泄露的起因，而且当发生频谱泄露时，会产生众多的、分布均匀的频率分量，相邻谱线的频间距取决于FFT时一帧波形的时长。
值得一提的是，相位偏移 φm不仅对各个频率分量的幅度有影响，也会影响频率分布，以后有机会再来解释这一点。
3. 通过使用AWG播放一个CW信号验证上述推导。
使用AWG 输出一个100MHz 频率的CW 信号，波形时长为10.5个周期，如图3所示，当循环播放时便可以模拟上述的相位不连续性，会造成180°的相位跳变。
对于这种波形时长不是信号周期整数倍的情况，当单次播放时，信号的频率就是100MHz ，但是当连续播放时相当于引起了相位调制，按照上述理论分析，频谱中将包含很多频率成分，图4给出了信号的实测频谱。
本例中，波形时长为105ns，这意味着频谱中相邻谱线之间的频率间隔约为：4.76MHz，这与图4所示的频谱是吻合的。
图3. 波形时长为10.5个信号周期
图4. 时域波形及其频谱
小结
对于使用矩形窗进行FFT时可能存在的频谱泄露效应，本文从理论上定性地进行了分析。究其原因，是因为当进行周期扩展时造成了相位的不连续。相位的不连续可以当作相位调制来处理，经过一系列推导最终解释了为什么会出现众多的频率成分。文中还对特定相位偏移情况下的频率分量的幅度进行了分析。文末通过一个实例模拟了这种相位不连续，并测试了波形和频谱，实测结果与理论推导相吻合。
作者：Knight
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